Từ đó, các giá trị chặn trên được giảm đi đáng kể nhờ dùng tính toán bằng điện tính cỡ lớn các nghiệm của hàm zeta Riemann. Ước lượng đầu tiên cho giá trị thực sự của giao điểm được cho bởi Lehman (1966), người chứng tỏ rằng giữa 1.53 × 10 1165 {\displaystyle 1.53\times 10^{1165}} và 1.65 × 10 1165 {\displaystyle 1.65\times 10^{1165}} có hơn 10 500 {\displaystyle 10^{500}} số x {\displaystyle x} liên tiếp thỏa mãn π ( x ) > li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} .Không dùng giả thuyết Riemann , H. J. J. te Riele (1987) chứng minh một chặn trên bằng 7 × 10 370 {\displaystyle 7\times 10^{370}} . Một ước tính tốt hơn 1.39822 × 10 316 {\displaystyle 1.39822\times 10^{316}} được tìm thấy bởi Bays & Hudson (2000), cặp đôi này đã chứng tỏ có ít nhất 10 153 {\displaystyle 10^{153}} số nguyên liên tiếp đâu đó gần giá trị này thỏa mãn π ( x ) > li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} . Bays và Hudson tìm thấy các giá trị nhỏ hơn nhiều của x {\displaystyle x} sao cho π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} tới gần li ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {li} (x)} ; thể hiện khả năng vẫn có các giao điểm chưa được xét, mặc dù điện toán cho rằng các giá trị này có thể không tồn tại. Chao & Plymen (2010) củng cố một chút kết quả của Bays và Hudson. Saouter & Demichel (2010) tìm một khoảng nhỏ hơn, sau được cải thiện bởi Zegowitz (2010). Cùng nguồn đấy cũng chi rằng tồn tại số x {\displaystyle x} vi phạm π ( x ) < li ⁡ ( x ) , {\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),} nằm dưới e 727.9513468 < 1.39718 × 10 316 {\displaystyle e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}} . Giá trị có thể giảm xuống dưới e 727.9513386 < 1.39717 × 10 316 {\displaystyle e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}} , nếu giả sử giả thuyết Riemann đúng. Stoll & Demichel (2011) cho 1.39716 × 10 316 {\displaystyle 1.39716\times 10^{316}} .

Một cách chặt chẽ, Rosser & Schoenfeld (1962) đã chứng minh rằng không có giao điểm nào dưới x = 10 8 {\displaystyle x=10^{8}} , được cải tiến bởi Brent (1975) thành 8 × 10 10 {\displaystyle 8\times 10^{10}} , bởi Kotnik (2008) tới 10 14 {\displaystyle 10^{14}} , bởi Platt & Trudgian (2014) tới 1.39 × 10 17 {\displaystyle 1.39\times 10^{17}} , và bởi Büthe (2015) tới 10 19 {\displaystyle 10^{19}}